Sota ja Lanchesterin laki

Olen lukenut jo aikaa sitten yhdysvaltalaisen H.W. Lewiksen kirjoittaman ja Terra Cognitan suomeksi julkaiseman (1999) erinomaisen kirjan Miksi heittää lanttia?

Kirjassa käydään todennäköisyyden kannalta läpi useita elämänalueita, kuten uhkapeliä, vedonlyöntiä, puolisonvalintaa, äänestämistä, oikeudenkäyntejä ja – sotaa. Tuosta viimeisestä on mielenkiintoinen juttu, jota en ole muualta kuullut. Tätä kirjoittaessa tarkistin muutaman yksityiskohdan Wikipediasta ja sieltähän tämäkin asia ainakin otsikkotasolla löytyy.

Englantilainen yleisnero Frederick Lanchester johti ensimmäisen maailmansodan aikana periaatteet, joilla voitiin arvioida silloisten ilmataistelujen voimasuhteiden lainalaisuuksia suhteessa lopputulemiin.

Laki pätee taisteluihin, joissa on vastakkain samalla tai yhtä hyvällä tekniikalla, taktiikalla ja muilla olosuhteilla varustettuja taisteluyksiköitä, jotka jossain tilanteessa taistelisivat toisen osapuolen loppuun asti (tai ainakin lähelle). Esimerkiksi ensimmäisen maailmansodan ilmataistelut voisivat olla tuollaisia.

Näkisin myös, että vaikkapa 1700-luvun yhteislaukauksia ampuvat taistelurivit voisivat olla myöskin hyvin lähellä em. kuvausta. Kirjassa puolestaan mainitaan toisen maailmansodan Tyynenmeren taistelu (ilmeisesti Iwo Jima) esimerkkinä, joka kuvaa hyvin Lanchesterin lain toteutumista.

Ajatellaan edellä kuvattuja keskenään verrannollisia vihollisyksiköitä, joita olisi toisella puolella vaikka 500 ja toisella puolella 300. Ja pohditaan, mihin päädytään tällaisilla (vaikka tasapäisillä kiväärimiehillä) taistelun lopputulemana. Ensimmäinen ajatus saattaa olla, että molemmilta puolilta kaatuu 300 kiväärimiestä ja pystyyn siis jäisi vahvemmalla puolella 200, toisella ei yhtään.

Lanchester johti periaatteet, joissa kuvataan tuollaista tilannetta. Sovitaan, että vahvemman puolen lukumäärää kuvataan merkillä C ja heikomman puolen lukumäärää merkillä A. Tällöin koko ajan samassa aikayksikössä kaatuu C-joukosta k*A sotilasta ja A joukosta kaatuu k*C sotilasta. Ja tilanteen edetessä samaa laskukaavaa noudatetaan, mutta aina sen hetken luvuilla.

Laitetaan käytännön iterointiin kuvitelma yhteislaukauksista, joilla jokaisella ampujalla osuu joka kymmenes laukaus, ja katsotaan miten käy. Ohessa siitä kaksi laskelmaa:

Tuloksena isompi pärjää selvästi paremmin kuin olisi ehkä arvannut. Kun iteraatioaskelta tarkentaa vaikkapa yhteen prosenttiin, niin askeleella 70 saatu tulos isomman joukkion jäljellä oleviksi nousee edellisestä arvoon 399. Tuon muutoksen voi ajatella tarkoittavan, että tuli muuttuu enemmän jatkuvaksi. Nyt voi arvata, että teoreettinen luku olisi tässä tilanteessa tasan 400. Lähtötilanne on tietenkin valittu sellaiseksi, että tulee tasalukuja.

Tuosta voi ajatella kuvitteellista I maailmansodan ilmataistelua, jossa toisen osapuolen viisi kaksitasohävittäjää kohtaa toisen osapuolen kolme samanlaista konetta, niin lopputulemana voisi hyvin olla neljä – nolla konetta ilmassa. Mielestäni uskottavan kuuloista. (Vaikkapa niin, että ensin isompi lentue saa yhden pudotuksen, pienemmän kaksi konetta saavat sitten väkisin pudotettua yhden isomman joukon koneen, jonka jälkeen isomman joukon neljä konetta hyviin asemiin päässeinä pudottavat loput kaksi.)

Seuraavassa tuohon Pythagoraan kolmion kautta tehtyä hahmotelmaa edellisen esimerkin valossa.

Edellisessä siis isomman alkutilanne muuttuu neliöllisesti voimaksi 5 => 25 ja pienemmän alkutilanne vastaavasti 3 => 9. Näiden erotus on 16, joka vastaa lopputilannetta 4 (neljän voima olisi ollut 16).

Laskenta lopputulemista on siis täsmälleen sama kuin suorakulmaisilla kolmioilla, joille on annettu hypotenuusa ja toinen kateetti. Jäljellä oleva tuntematon kateetti on pystyyn jääneiden lukumäärä sillä isommalla joukkiolla.

Lanchesterin (ja kirjan vihjeiden myötä itsenikin) johtamilla differentiaaliyhtälöillä päädytään siis siihen, että lopputulemassa huomioidaan voimien neliöt, jossa isommasta neliöstä vähennetään pienempi, ja saadun luvun neliöjuuri kuvaa pystyyn jääneitä taistelijoita (tai sotayksiköitä). Noita yhtälöitä en löytänyt, mutta pakkohan niiden on samaan matematiikkaan pohjautua.

Laitan loppuun juttua noista yhtälöistä asiasta kiinnostuneille. Todettakoon vielä, että jos osapuolilla olisi keskimääräistä eroa jossain yksityiskohdassa (vaikkapa osumatarkkuus), niin tuollaiset näyttäisi voitavan ottaa huomioon yhtälöissä, mutta tässä jutussa ajatellaan, että molemmilla puolilla on samat kyvykkyydet yksikköä kohden kaikilta osin.

Lanchesterin laki tuo myös laskennallista ohjetta sekä liittoutumiseen, että vastustajan joukkojen jakamiseen. Ajatellaan, että on tilanne, jossa on 12 ja 9 yksikköä vastakkain, isompi voittaa helposti lopputuleman ollessa 8 yksikköä. Jos isommalla olisi ollut lisäksi toinen 5 yksikön vastustaja (siis kaksi vastustajaa), niin se voittaisi sodan käsittelemällä vastustajat yksi kerrallaan päätyen kuuteen yksikköön.

Jos taas edellisessä esimerkissä nuo kaksi pienempää liittoutuisivat taistelemaan yhtenä sotajoukkona tuota alun perin isompaa vastaan, niin voimasuhteiksi muodostuu 12 ja 14 yksikköä. Lopputuleman alunperin pienemmät voittavat siten, että heille jää yhteensä 7 yksikköä jäljelle. Voisi ajatella, että tuossa vaiheessa nämä eivät heilläkin isojen tappioiden jälkeen enää jaksa taistella keskenään, vaan saalis tai taktinen etu jaetaan.

Tuota liittoumatilannetta voi tietenkin pohtia lisäksi siltä kannalta, että liittoutuneet saattavat taktikoida jo ensimmäisen taisteluvaiheen aikana tulevaa keskinäistä välienselvittelyä, joka voisi heikentää liittouman menestystä, mutta kuten sanottua, niin näissä esimerkeissä ei ajatella tuon tapaisia taktiikoita.

Muistelen lukeneeni ensimmäisestä puunilaissodasta sellaista kuvausta, että Rooma onnistui saamaan alistamistaan italialaisvaltioista rinnalleen ’täysillä’ taistelevia lisäjoukkoja ja -yksiköitä. Roomalaiset saivat merkittävän edun määrältään ylivoimaista Karthagoa vastaan mm. keksimällä merijalkaväen ensimmäisessä isommassa meritaistelussaan, mutta olisiko se riittänyt ilman lisävoimia, voi tietenkin miettiä.

Toisinpäin voi ajatella (myöskin todellisuudessakin tapahtuneita) vihollisen jakamista pienemmiksi osiksi, joka on käänteinen tuohon liittoutumiseen verrattuna. Tuolla logiikalla 12 yksikköä voittaa 14 yksikön vihollisen, jos pystyy jakamaan sen pienempiin osiin.

Edellisessä vielä differentiaaliyhtälöiden ratkaisukäyrät, joissa lähtötilanne on sitä oikeammalla, mitä lähempänä joukkoiden vahvuudet ovat toisiaan, ja taistelun alettua siirrytään x-akselia myöten kohden nollaa ja y-akselia. Loppuun asti taistelussa oleva tilanne on juuri y-akselin 1,0 ja 0,0 skaalatut vahvuudet.

Lanchester käytti omissa tutkimuksissaan esimerkkinä Trafalgarin meritaistelua Espanjan rannikolla, jossa Nelson onnistui voittamaan Espanjan ja Ranskan yhdistyneen itseään isomman laivaston jakamalla näiden linjaston osiin. Muistelen, että jatkosodan lopun Ilomantsin taistelussa kenraali Raappana myöskin onnistui jakamaan itseään vahvemmat vihollisjoukot menestyksekkäästi. Tietenkin Raatteen tie on myös hyvä esimerkki.

Tuo yhdysvaltalainen yliopistomies H. W. Lewis esittää kirjassaan kritiikkiä (oletan että usein perustellusti) monien alojen toimijoille numerotaidon puutteesta ja tietää mielestään myös tästä asiasta, että sotakouluissa ei tätä Lanchesterin oppia haluta jostain syystä ottaa huomioon. Itse en tunne tuota puolta.

Laitoin vielä Uuden Suomen blogiini loppuun hieman tarkemmin käytettyä matematiikkaa.